题目

已知函数f(x)=mx/2+(m-2)/2x（m＞0）
（1）若f(x)≥lnx+m-1在[1,+∞）上恒成立,求m的取值范围,
（2）2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n^3+3n^2-5n)/12 (n∈N+）
第（1）题已经做出来啦,只需要第（2）题.
当n=1时，左边=1 ln1=0，右边=（2+3-5）/12=0，原不等式成立。
假设当n=k (k∈N+）时，原不等式成立，
即2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12=k(k-1)(2k+5)/12 (k∈N+），
那么当n=k+1 (k∈N+）时，
即要证明2ln2+3ln3+……+klnk+(k+1)lnk ≤k(k+1)(2k+7)/12
=(2k³+9k²+7k)/12=(2k³+3k²-5k)/12+（6k²+12k）/12
=(2k³+3k²-5k)/12+（k²+2k）/2，
由2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12(k∈N+），
故只要证明(k+1) lnk≤（k²+2k）/2，
但是(k+1) lnk≤（k²+2k）/2怎么证明呢？

提问时间：2021-04-01

答案