题目

hello!y=(x-1)(x-2)(x-3).(x-100)的导数怎么求?再帮忙归纳到一般式的导数求解
请尽量多写几种解法,让所有解法来的更猛烈些吧!
结果用X来表示，有没有简洁些的？不要只通过特殊的（如让X大于100)来解，要全面具体的过程（*=*)

提问时间：2021-04-01

答案

对于x＝1,2,...100,用定义求,比如求在23处导数,就是lim[f(x)-f(23)]÷（x－23）
=(23-1)×（23－2）×...×（23－22）×（23－24）×...×（23－100）
如果x不是这些整数,可以加绝对值以后用对数：
取对数ln|y|=ln|(x-1)(x-2)(x-3).(x-100)|
=ln|x-1|+ln|x-2|+...+ln|x-100|
两边对“x”求导
y'/y=1/x-1+1/x-2+...+1/x-100
再把y=(x-1)(x-2)(x-3).(x-100)乘过去即可
如果是y=(x-1)(x-2)(x-3).(x-N),换成加号一回事,也是取绝对值加对数：
ln|y|=ln|(x-1)(x-2)(x-3).(x-N)|
=ln|x-1|+ln|x-2|+...+ln|x-N|,
y'/y=1/x-1+1/x-2+...+1/x-N
再把y=(x-1)(x-2)(x-3).(x-N)乘过去即可
y'=(x-1)(x-2)(x-3).(x-N)×[1/x-1+1/x-2+...+1/x-N],当然x不能是1,2,...N,等于时候用定义求导.
不是连续数相乘,也是一样的道理.
y=(x-a1)(x-a2)(x-3).(x-an)
y'=(x-a1)(x-a2)(x-3).(x-a)×[1/x-a1/x-a2+...+1/x-an],