题目

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．（14分）

（1）证明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC．

提问时间：2021-04-01

答案

证明 （1）取PD的中点F，连接FA，FE，则EF为△PDC的中位线．
∴EF∥CD，EF=

1

2

CD．∵BA⊥AD，CD⊥AD．∴AB∥CD∵CD=2AB，∴AB=

1

2

CD．
∴EF∥AB，EF=AB．∴ABEF是平行四边形．
∴EB∥FA．∵EB⊄平面PAD，FA⊂平面PAD∴EB∥平面PAD（6分）
（2）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD
∴PA⊥CD∵CD⊥AD，PA∩AD=A
PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD
∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD
∴CD⊥AF．
∵PA=AD，PF=FD∴AF⊥PD．
∵PD∩CD=D，PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC
∴AF⊥平面PDC．由（1）可知，BE∥AF
∴BE⊥平面PDC