题目

实变函数中的集合的距离问题`
两集合F1,F2不相交,能否推出它们之间的距离
d（F1,F2）=infd(P,Q)>0?其中P属于F1,Q属于F2.请说明理由,给出详细的证明.
若F1，F2都是闭集呢？你的回答错了！F1=(0,1)，F2=(1,2)，两集合不相交，距离还是大于零。
你的证明不对啊！我可以举出反例啊！F1={Xn;Xn=n-1/n},F2={Yn;Yn=n+1/n},n是自然数，则F1，F2都是闭集，F1，F2不相交，但
d（F1,F2）=inf{1/2n}=0，n是自然数。
你所说的“由于F1,F2是闭集，那么Ak->A属于F1，Bk->B属于F2”不对啊！

提问时间：2021-04-01

答案

不能.反例,F1=(0,1),F2=(1,2),两集合不相交,但是距离为零
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期望你能复习一下inf的意义.对了,如果是两个都是闭集得话就对了.
证明：反证
如果d（F1,F2）=0,那么存在两数列Ak属于F1,Bk属于F2,使得lim d(Ak,Bk)=0,不妨设两数列本身收敛,由于F1,F2是闭集,那么Ak->A属于F1,Bk->B属于F2,且易得A=B,那么A属于F1也属于F2.与F1,F2不相交矛盾.#