题目

如图所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．

提问时间：2021-04-01

答案

证明：∵△ABE和△BCF都是等边三角形，
∴AE=AB=CD，CF=BC=AD，
∴∠BAE=∠BCF=60°，即∠DAE+∠BAD=∠1+∠BCD=60°，
在平行四边形ABCD中，则∠BAD=∠BCD，
∴∠DAE=∠1，
∴△DAE≌△FCD，即DF=DE，
∴∠1=∠2，
∵∠EAD=60°-∠BAD，∠1=60°-∠BCD，
∴∠EAD=∠1，
∴∠EAD=∠2，
∵EA=EB，AD=BC=BF，
∴△BEF≌△AED，即DE=EF，
∴DE=DF=EF，即△DEF是等边三角形．

等边三角形中，三条边相等，三个角都是60°，则可由60°角及平行四边形对角相等的性质可得∠DAE=∠1，即△DAE≌△FCD，得出DF=DE，同理可得出三条边都相等，进而可得出结论．

本题考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，能够熟练掌握，并能够进行一些简单的证明、计算问题．