题目

己知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M（1、m）恰好在此抛物线的对称轴上,圆M的半径为根5,设圆M与y轴交于D,抛物线的顶点为E
（1）求m的值及抛物线的解析式
（2）设角DBC=a,角CBE=b,求sin（a-b)的值
（3）探究坐标轴上是否存在点p,使得以P、A、C为顶点的三角形与三角形BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并写出点P的坐标,若不存在,请说明理由

提问时间：2021-04-01

答案

（1）由抛物线表达式得到C点坐标（0,-3）,与（1,m）距离根号5,解得m=-1或-5.因为ABC在圆上,所以m>-3,得到m=-1.设AB坐标为（x,0）,由半径根号5,圆心（1,-1）得到AB分别是（-1,0）,（3,0）.代入抛物线表达式,得到y=x^2-2x-3.
（2）D=（0,1）,E=（1,-4）.由点确定直线,用公式算直线交角.另一个简单点的办法是算出这5条边长,然后用余弦定理得到正弦余弦值,用三角公式算sin(a-b).
（3）若存在,那么AC和x轴或y轴的夹角必为BCE的一个内角值.可以发现有3个这样的点,原点就是之一.