题目

三角形ABC中,角A=60°,BD,CE是角平分线,试判断BE,CD,BC的等量关系式并加以证明.图自己画.

提问时间：2021-04-01

答案

关系为：BC=CD+BE
证明：设BD,CE交于O点
在BC截取BM=BE.连OM,
因为BD、CE为角平分线,
所以∠CBD=∠ABD=∠ABC/2,∠BCE=∠ACB/2
所以∠CBD+∠BCE=(∠ABC+∠ACB)/2,
因为∠BAC=60°
所以∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120
所以∠CBD+∠BCE=120/2=60,
所以∠BOC=180-∠CBD-∠BCE=180-60=120°
在△BEO和△BMO中,
BE=BM,
∠EBO=∠MBO
BO=BO
所以△BEO≌△BMO（SAS）
所以∠BOE=∠BOM,
在△BCO中,∠BOE=∠DBC+∠BCE=60°=∠COD,
所以∠BOM=60°
所以∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60,
所以∠COD=∠COM
在△COD和△COM中,
∠COD=∠COM
CO=CO
∠DCO=∠MCO
所以△COD≌△COM（ASA）
所以CD=CM
所以BC=CM+BM=CD+BE