题目

如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象经过点A和点B．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9，
分别代入y=ax²-4x+c
得

−1＝a×(−1)2−4×(−1)+c −9＝a×32−4×3+c

，
解得

a＝1 c＝−6

，
∴二次函数的表达式为y=x²-4x-6．
（2）对称轴为x=2；
顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m，m）代入y=x²-4x-6，得m=m²-4m-6，
解得m₁=-1，m₂=6．
∵m＞0，
∴m₁=-1不合题意，舍去．
∴m=6，
∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，
∴点Q到x轴的距离为6．

（1）根据图象可得出A、B两点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式，用配方法或公式法即可求出对称轴和顶点坐标．
（3）将P点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值，P，Q关于抛物线的对称轴对称，那么两点的纵坐标相等，因此P点到x轴的距离同Q到x轴的距离相等，均为m的绝对值．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题考查二次函数的有关知识，通过数形结合来解决．