题目

已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．
（1）若x∈N^*，试求f（x）的解析式；
（2）若x∈N^*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）+0+1，f（0）=-1，
令y=1得，f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4，
即f（x+1）-f（x）=2x+4，
∴f（2）-f（1）=2×1+4，f（3）-f（2）=2×2+4，f（4）-f（3）=2×3+4，…
f（x）-f（x-1）=2×（x-1）+4，
累加得：f（x）-f（1）=2（1+2+3+4…+（x-1））+4（x-1）=x²+3x-4，又  f（1）=1，
∴f（x）═x²+3x-3，x∈N^*．
（2）∵x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，
∴x²+3x-3≥（a+7）x-（a+10）恒成立，
即 a≤

x2−4x+7

x−1

=

(x−1)2−2(x−1)+4

x−1

=（x-1）+

4

x−1

-2，
由基本不等式得 （x-1）+

4

x−1

-2≥4-2=2 （当且仅当x=3时，等号成立），
∴（x-1）+

4

x−1

-2 的最小值是2，，∴a≤2

（1）先求出f（x+1）与 f（x）的关系，用累加法求出f（x）的解析式．
（2）不等式等价变形为即 a≤

x2−4x+7

x−1

，由基本不等式求不等号右边式子的最小值，a应小于或等于此最小值．

本题考点：抽象函数及其应用；函数恒成立问题．

考点点评：本题考查抽象函数及恒成立问题．