题目

关于双曲线的一道题不大明白,
题：求两条渐近线为X（+,—）2Y=0且截直线X—Y—3=0
渐近线为X（+,—）2Y=0
Y=（+,—）（1/2）x
所以b/a=1/2
所以a=2b
双曲线方程可设为
x^2/4b^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
与x-y-3=0联立
可得3y^2-6y+4b^2-9=0
设双曲线与直线交点为（x1,y1）,(x2,y2),则上述方程两根为y1,y2
则y1+y2=2,y1*y2=(4b^2-9)/3
x1-x2=(y1+3)-(y2+3)=y1-y2 ——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————为什么要算x1-x2
而双曲线截直线所得弦长的平方————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————为什么要进行平方,也看不大懂
=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=2(y1-y2)^2
=2(y1^2+y2^2-2y1y2)
=2[(y1+y2)^2-4y1y2]
=2[4-4(4b^2-9)/3]
=8[1-(4b^2-9)/3]=(8√3/3)^2=64/3
所以1-(4b^2-9)/3=8/3
3-(4b^2-9)=8
b^2=1
解之得b=1（因为b>0）
所以双曲线方程为x^2/4-y^2=1(a>0,b>0)
求两条渐近线为X（+，—）2Y=0且截直线X—Y—3=0
所得弦长为8根号3/3的双曲线方程。

提问时间：2021-04-01

答案

我不得不说,你的这个算法并不高明,最起码有一处漏洞和一处不足：
首先,题目没有说双曲线的焦点一定在x轴上,所以你设x^2/4b^2-y^2/b^2=1是很有问题的.当然,这道题是让你蒙对了,画图可以看出,只有焦点在x轴上才能截到直线x-y-3=0,但是毕竟漏了一步说明.稳妥起见,一般这种题目双曲线方程都要设成：x²-4y²=m (m可正可负,算出来什么是什么)
其次,你的这个算法还是很原始的用两点间距离公式硬套,
我先解释一下你的两个问题：
① 为什么求x1-x2?很明显是为了套两点距离公式d=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]；
② 为什么要进行平方?为了避免开根号,毕竟以后代入数据也要平方求解的嘛
然后我说说比较科学的解法：弦长公式
如果直线斜率为k,那么弦长d=√(1+k²) |x1-x2| (注意绝对值在根号外面)
为了套用韦达定理的结论,一般写成这样：
d=√{(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]} （注意整个算式都在根号内）
其实这变化也都很简单,完全是你上面的推导过程省略而成,但是你可以直接用这个结论.
完整的解题过程如下：
因为双曲线渐近线为x±2y=0,所以设双曲线方程为x²-4y²=m,
与直线x-y-3=0联立解得：x²-8x+12+m/3=0,此方程两根即为两交点横坐标x1,x2
由韦达定理可知：x1+x2=8,x1x2=12+m/3
代入弦长公式d=√{(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]} 得：
8√3/3=√{(1+1²)[8²-4(12+m/3)]} 两边平方解得：m=4
所以双曲线方程为x²-4y²=4
标准方程为x²/4 - y² =1