题目

在直角坐标系xOy中,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(ksinθ,t)(其中0≤θ≤π/2,t∈R)
（1）若向量AB⊥向量a,且|向量OA|=|向量AB|,求向量OB；
（2）若向量AB与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值为4时,求向量OA·向量OB.

提问时间：2021-04-01

答案

（1）设ksinθ=b
向量AB⊥向量a: (b-8,t)(-1,2)= -b+8+2t=0
|向量OA|=|向量AB|: 8^2=b^2+t^2
解方程组得b=8,t=0 或 b= -24/5 , t= -32/5
故向量OB=（8,0）或向量OB=（-24/5,-32/5）
（2）tsinθ取最大值为4时,即t=4,sinθ=1
向量AB与向量a共线: (ksinθ-8,t)=λ(-1,2) (λ不等于0)
故 2(ksinθ-8)=-t 将t=4,sinθ=1带入 得k=6
向量OB=（6,4）
向量OA·向量OB=6*8+0*4=48