题目

拓扑学：怎样证明局部连通空间的开连续像局部连通

提问时间：2021-04-01

答案

这个可以用反证法,
假定开连续象非局部连通,那么在象集合V中存在一个点x,对与x的某个邻域A,使得A中不包含任何一个x的连通邻域.
设B是A的原象,那么在连续映射下,B是x的象y的邻域,那么由于在原象集合U中,是局部连通的,那么必然存在y的邻域连通C,并且C为B的子集.那么由于是开连学映射,那么C的象集D也是开集.
显然D是A的子集,.
由于A中不包含任何x的连通邻域,那么显然D是非连通开集,那么V-D也是开集,易得U-C是V-D的原象,那么U-C也是开集,考虑到C也是开集,因此C不连通,这与C是y的连通邻域矛盾!
命题的正.