题目

已知函数f（x）=-

1

a

+

2

x

（x＞0）．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0；
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）f（x）在（0，+∞）上为减函数，证明如下：
∵f'（x）=-

2

x2

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
（2）由f（x）＞0得-

1

a

+

2

x

＞0，
即

x−2a

ax

＜0．
①当a＞0时，不等式解集为{x|0＜x＜2a}．
②当a＜0时，原不等式为

x−2a

x

＞0．
解集为{x|x＞0}．
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即-

1

a

+

2

x

+2x≥0．∴

1

a

≤

2

x

+2x．
∵

2

x

+2x≥4，∴

1

a

≤4．
解得a＜0或a≥

1

4

．

（1）求导，判断导数在（0，+∞）上的符号，判断出单调性，本题是先判断后证明，格式应为“f（x）在（0，+∞）上为减函数，证明如下：…
（2）由f（x）＞0得-

1

a

+

2

x

＞0，整理得

x−2a

ax

＜0．求解时要对参数a的范围进行分类讨论，分类解不等式；
（3）对恒等式进行变形，得到

1

a

≤

2

x

+2x．求出

2

x

+2x的最小值，令

1

a

小于等于它即可解出参数a的取值范围．

本题考点：函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题考查用导数法证明函数的单调性、利用单调性解不等式以及恒成立的问题求参数．解题中变形灵活，转化得当，值得借鉴．