题目

如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．

（1）求AB的长度；
（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；
（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=2；
（2）证明：连接OD，
∵△ABE为等边三角形，
∴AB=AE，∠EAB=60°，
∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，
∴∠DAO=60°．
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA，
∴△ADO为等边三角形．
∴DA=AO．
在△ABD与△AEO中，
∵

AB＝AE ∠EAO＝∠NAB DA＝AO

，
∴△ABD≌△AEO（SAS）．
∴BD=OE．
（3）证明：作EH⊥AB于H．
∵AE=BE，∴AH=

1

2

AB，
∵BO=

1

2

AB，∴AH=BO，
在Rt△AEH与Rt△BAO中，

AH＝BO AE＝AB

，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），
∴EH=AO=AD．
又∵∠EHF=∠DAF=90°，
在△HFE与△AFD中，

∠EHF＝∠DAF ∠EFH＝∠DFA EH＝AD

，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF=DF．
∴F为DE的中点．

（1）直接运用直角三角形30°角的性质即可．
（2）连接OD，易证△ADO为等边三角形，再证△ABD≌△AEO即可．
（3）作EH⊥AB于H，先证△ABO≌△AEH，得AO=EH，再证△AFD≌△EFH即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．

考点点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等．