题目

如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使得∠CDE=15°，连接BE．延长BE到F，连接CF，使得CF=BC．

（1）求证：DE=BE；
（2）求证：EF=CE+DE．

提问时间：2021-04-01

答案

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
∵在△ABE和△ADE中，

AB＝AD ∠BAC＝∠DAC AE＝AE

，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE．
（2）在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE．
∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，
∴∠CBE=∠F，
∴∠CBE=∠CDE=∠F．
∵∠CDE=15°，
∴∠CBE=15°，
∴∠CEG=60°．
∵CE=GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECD=GCF．
∵在△DEC和△FGC中，

CE＝GC ∠ECD＝GCF CD＝CF

，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE=GF．
∵EF=EG+GF，
∴EF=CE+ED．

（1）由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出结论；
（2）在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出结论．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定运用，等边三角形的判定与性质的运用，解答时运用等边三角形的性质证明三角形全等是关键．