题目

已知函数f(x)的定义域为,对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>o

提问时间：2021-04-01

答案

原题：
已知函数f（x）定义域为{x|x≠0,x∈R},对定义域内的任意x1,x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）且当x＞1时f（x）＞0,
（1）求f（1）与f（-1）值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）求证：f（x）在（0,+∞）上是增函数．

（1）令x1=x2=1
∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0
令x1=-1,x2=1
f（-1）=f（-1）+f（1）
∴f（-1）=0；
（2）证明：令x1=-1
∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（x1•x2）=f（-x2）=f（-1）+f（x2）
又∵f（-1）=0
∴f（-x2）=f（x2）
故f（x）是偶函数；
（3）证明：令x1＞1,当x2∈（0,+∞）时,x1•x2＞x2
∵当x＞1时f（x）＞0
∴f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）＞f（x2）．
故f（x）在（0,+∞）上是增函数．