题目

高中数学初学者求周期函数解法
已知函数f (x )满足f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y属于R),则f(2010)=?
取y=1，则 4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)
即 f(x)=f(x+1)+f(x-1)
所以 f(x+1)=f(x+2)+f(x) (在上式中，以x+1代替x)
两式相加，得 f(x+2)+f(x-1)=0
所以 f(x+2)=-f(x-1)
因此，f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)
就是说，函数是以6为周期的周期函数。
f(2010)=f(335*6)=f(0)
在已知等式中取x=1，y=0，则可得 4f(1)f(0)=2f(1)，所以 f(0)=1/2
因此，f(2010)=f(0)=1/2.
此步不解：
f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)

提问时间：2021-04-01

答案