题目

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）为奇函数．
（1）求函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）满足f（k-2）+f（2^x+1+4^x）＞0对于任意x∈R恒成立，求实数K的取值范围；
（3）证明xf（x）≥0．

提问时间：2021-04-01

答案

∵函数f（x）=a-22x+1（a∈R）为奇函数，∴f（0）=0，∴a=1．∴f（x）=1-22x+1，（1）∵f'（x）=2×2xln2(2x+1)2＞0，∴函数在R上为增函数；（2）∵f（k-2）+f（2x+1+4x）＞0，∴f（2x+1+4x）＞-f（k-2）=f（2-k），...

首先，根据函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）为奇函数．f（0）=0，得到a的取值，
（1）首先，求导数，然后，判断导数值的情况，从而确定单调区间；
（2）根据（1）的结论，然后，结合奇偶性，转化成恒成立问题，然后求解；
（3）构造函数h（x）=xf（x），然后，结合函数的奇偶性进行求解即可．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断．

考点点评：本题综合考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题，难度中等，注意函数为奇函数的重要性质．