题目

公共弦长方程

提问时间：2021-04-01

答案

若圆C1：(x-a1)^2+(y-b1)^2=r1^2或x2+y2+D1x+E1y+F1=0
圆C2：(x-a2)^2+(y-b2)^2=r2^2或x2+y2+D2x+E2y+F2=0
则过两圆交点的直线方程为：(x-a1)^2+(y-b1)^2－(x-a2)^2－(y-b2)^2=r1^2－r2^2 或 (D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0
这是“两相交圆方程相减得公共弦方程”的变式
设两圆分别为
x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0 ①
x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0 ②
两式相减得
（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0 ③
这是一条直线的方程
（1）先证这条直线过切点
设切点为(x0,y0)则满足①②
所以满足③
所以切点在直线③上
（2）再证圆与这条直线有且只有一个交点
设圆①上还有另外一点(x1,y1)在直线③上
（x1,y1与x0,y0不同时相等,也可以写作(x0-x1)^2+(y0-y1)^2≠0)
则(x1,y1)满足①③
所以(x1,y1)满足②
所以(x1,y1)是圆①和圆②的另一个交点
与两圆外切矛盾
所以圆与这条直线有且只有一个交点
综上所述,（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0
是两圆的公共弦.假设两个半径分别是a,b,圆心距是c那么公共弦的长度是--------(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)的乘积开根号,然后再除以c具体的推导过程就是解方程而已,自己推一下吧