题目

已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）²+y²=4上运动．
（1）求线段AB的中点M的轨迹；
（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．

提问时间：2021-04-01

答案

解（1）设A（x₁，y₁），M（x，y），
由中点公式得x₁=2x-1，y₁=2y-3
因为A在圆C上，所以（2x）²+（2y-3）²=4，即x²+（y-1.5）²=1．
点M的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；
（2）设L的斜率为k，则L的方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
因为CA⊥CD，△CAD为等腰直角三角形，
由题意知，圆心C（-1，0）到L的距离为

2

．
由点到直线的距离公式得

|-k-k+3|

k2+1

=

2

，
∴4k²-12k+9=2k²+2
∴2k²-12k+7=0，解得k=3±

22

2

．

（1）设出A和M的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程后可求线段AB的中点M的轨迹；
（2）由题意可知L的斜率存在，设出其斜率，结合CA⊥CD，由弦心距和半径的关系得到弦心距，再由圆心到直线的距离公式列式求出直线L的斜率．

本题考点：轨迹方程；直线与圆相交的性质．

考点点评：本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程问题，考查了利用代入法求曲线的方程，解答的关键是正确利用直线和圆的位置关系，是中档题．