题目

已知函数f(x)=a·x^3+b·x+1 ,当x=1有极值
1.求a,b关系式?
2.若当X=1时,函数f（x）有极大值3,且经过点p（0,17）做曲线,y=f（x）的切线l,求切线l的方程、
3.设函数g(x)=f(x)-2x^2（a>0） 在区间[2,3]上单调递减,求a的取值范围.

提问时间：2021-04-01

答案

f(x)=a·x^3+b·x+1
求导f’(x)=3a·x^2+b
当x=1有极值 所以f’(1)=3a+b=0
所以a,b关系式为3a+b=0
（2）若当X=1时,函数f（x）有极大值3
所以有f(1)=a·+b·+1=3,与3a+b=0联立的a=-1,b=3
此时f(x)=-x^3+3·x+1,f’(x)=-3·x^2+3,
令f’(x)=0得x=±1.
所以f(x)在（-无穷,-1）（1,+无穷）上单调减
在（-1,1）上单调增,
所以满足X=1时,函数f（x）有极大值3
设切点为（m,n）
则k=-3·m^2+3.
经过点p（0,17）
所以切线方程为y-17=(-3·m^2+3)*(x-0),即y=(-3·m^2+3)*x+17.
切点为（m,n）在切线与曲线上有
n=(-3·m^2+3)*m+17=-3·m^3+3m+17
n=-m^3+3·m+1
相减得0=-2m^3+16,解得m=2,此时n=-8+6+1=-1,k=-12+3=-9
所以切线方程为y=-9*x+17.
（3）g(x)=f(x)-2x^2=a·x^3+b·x+1-2x^2
g‘(x)=3a·x^2+b-4x,由3a+b=0,所以b=-3a
g‘(x)=3a·x^2-4x-3a
在区间[2,3]上单调递减
所以g‘(x)=3a·x^2-4x-3a≤0在[2,3]上恒成立
接下去,你先思考下,我等等在解答.