题目

1.已知二次函数f（x）满足f(x+1)+f(x-1)=2x²-4,
2.设 x1.x2是关于x的一元二次方程 x²-2（m-1)x+m+1=0的两个实根,又y=x1²+x2²,求y=f(m)的解析式于与定义域
3.定义在非零实数集上的函数f(X)满足f(Xy)=f(x)+f(y),且函数式区间（0,正无穷）上的增函数.1.求f(1).f(-1)的值 2.求证f(-x)=f(x)3.解不等式f（2）+f【x-1/2】小于等于0

提问时间：2021-04-01

答案

1.设f（x）=ax2+bx+c,
∴f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c,f（x-1）=a（x-1）2+b（x-1）+c,
∴f（x+1）+f（x-1）=2ax2+2bx+2a+2c,
∵f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x,
∴2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
∴a=1,b=-2,c=-1,
则f（x）=x2-2x-1．
故答案为：f（x）=x2-2x-1．
2.用韦达定理来算
X1+X2=-b/a X1*X2=c/a
所以 y=X1²+X2²=（X1+X2）²-2X1*X2=4（m-1）²-2（m+1）=4m²-10m+2
所以f（m)=4m²-10m+2
要考虑存在两根x1、x2.所以定义域m小于等于0或m大于等于3.可以相等的
3.(1)令x=y=1,
带入函数式子f(xy)=f(x)+f(y)
得f(1)=f(1)+f(1),
解得f(1)=0；
令x=y=-1,
带入函数式子f(xy)=f(x)+f(y)
得f(1)=f(-1)+f(-1),
解得f(-1)=0.
(2)证明偶函数：
令y=-1,
带入f(xy)=f(x)+f(y)
得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),
即f(-x)=f(x).
(3)解不等式f(2)+f(x-1/2)≤0
因为f(x)是区间(0,＋∞)的增函数,且f(-x)=f(x)符合偶函数关于y轴对称
f(2)+f(x-½)=f[2*(x-1/2)]=f(2x-1)≤0=f(1) (第一问解出来f(1)=0了,用f(-1)=0也行答案都一样)
所以：|2x-1|