题目

已知函数y=f（x）的图象与函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称
记g ( x) =f ( x) [ f ( x) + f ( 2) - 1 ]若y=g（x）在区间[1/2,2]上是增函数,则实数a的取值范围是（　　）
当0＜a＜1时,若y=g（x）在区间[1/2,2]上是增函数,y=logax为减函数,令t=logax,t∈[loga2,loga1/2],要求对称轴-(loga2-1)/2≥loga1/2
,解得a≤1/2,
可是y = g ( x) = t^2+ ( loga 2 - 1) t.不是一个开口向上的函数么?一个开口向上的函数的左边是减的,为什么它的对称轴-(loga2-1)/2≥loga1/2呢?

提问时间：2021-04-01

答案

分析：∵f(x)=log(a,x),g(x)=(log(a,x))^2+(log(a,2)-1)*log(a,x)．
可见,g(x)为复合函数,其单调性取决于构成复合函数的二个基本函数的单调性,即同增异减
令t=log(a,x),区间[1/2,2]
g(x)=(t)^2+(log(a,2)-1)t,为开口向上的抛物线,对称轴为(1-log(a,2))/2
t∈[loga2,loga1/2 ],
当a>1时,t=log(a,x)在区间[1/2,2]上是增函数
要g(x)在[1/2,2]上是增函数,须取抛物线的上升段,即对称右侧
∴(1-log(a,2))/2