题目

△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

提问时间：2021-04-01

答案

（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，
∵sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
∴cosB=

a2+c2−b2

2ac

=

a2+c2−ac

2ac

≥

2ac−ac

2ac

=

1

2

，
当且仅当a=c时等号成立，
∴cosB的最小值为

1

2

．