题目

请问数学中模的概念,-3的模是什么?3-i的模是什么啊?
模都是正数或0吗？

提问时间：2021-04-01

答案

数学中 模 这个字被用于很多个不同领域（但是意义不同）
一、C语言中的计算符号%,这个求模在数学中是指属于数论内容的求模（通俗的说就是整数除法求余数）,这种求模在数学的抽象代数中有更一般情况的推广,符号是 a 三 b (mod m) （“三”是三跳横线的等号,因为打不出来我用 三代替了 你自行脑补）.
这个符号的等价意义是 a-b属于 “ m”对应的理想,或者通俗的说是a,b同属于模掉m的一个等价类 .这是比较一般的情况,在初等数论中有一种特例,就是当讨论的范围限于整数及其运算下,a,b,m都是整数,m的对应的等价类取为m的剩余类意义.这种特殊的例子中,a,b同属于m的一个剩余类,也就是a-b能被m整除,也就是通俗的说a,b带余数除法除以m得到的余数相同,即同余.
据此,C语言中的%就相当于 mod a%m = b 就相当于 求一个b,使得b三a(mod m) （b取相应剩余类中最小的非负整数作为代表）.
二、在数学中还有一个地方也用了“模”这个名词,但与上述的没什么关系.就是向量/矢量/复数的 模.它是绝对值、长度的推广.它的进一步推广是范数.例如,复数z=x+iy （x,y是实数,i是虚数单位 i^2 = -1）的模就是 根号下（x的平方+y的平方）.很容易验证它是一种特殊的范数.
三、在数学中还有一类代数结构也被叫做“模”,在各种代数结构的表示论中占有很重要的地位.也算是线性空间的推广,线性空间是一种特殊的“模”.一般说到模,是指一个交换群（也叫Abel群、加法群）M,M要成为一个有单位元的环R上的模,需要定义一个运算（是数乘运算的推广）RXM→M,这个运算要满足一定的条件,例如与加法的各种分配率,单位元e满足e.m=m之类的.在李代数的表示理论中,还有种李代数的模结构,一个交换群M,要成为一个李代数L上的模（其本质其实是李代数L的一个表示）,定义RXM→M时要满足对于李乘[,]满足[x,y].m = xym-yxm等条件,李代数的L模跟 环R上的R模结构上有一定的相似性.都叫做“模”.
P.S. 好像其实 三的模英文原词跟一、二的模英文原词其实差了一两个字母好像,可能是翻译没办法了.自行注意别混淆了吧.
还是有一点点差别的,因为C语言的%求模求的只是一个代表整数（就是0~m-1范围内的）,而事实上严格来说,模应该也要包括整个剩余类.