题目

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁ C和C₁D与底面A₁B₁C₁D₁所成的角分别为60°和45°，则异面直线B₁C和C₁D所成角的余弦值为（　　）
A.

6

4

B.

6

3

C.

2

6

D.

3

6

提问时间：2021-04-01

答案

设长方体的高为1，连接B₁A、B₁C、AC
∵B₁C和C₁D与底面所成的角分别为60⁰和45⁰，
∴∠B₁CB=60°，∠C₁DC=45°
∴C₁D=

2

，B₁C=

2 3

3

，BC=

3

3

，CD=1则AC=

2 3

3

∵C₁D∥B₁A
∴∠AB₁C为异面直线B₁C和DC₁所成角
由余弦定理可得cos∠AB₁C=

6

4

故选A

设长方体的高为1，根据B₁C和C₁D与底面所成的角分别为60⁰和45⁰，分别求出各线段的长，将C₁D平移到B₁A，根据异面直线所成角的定义可知∠AB₁C为异面直线B₁C和DC₁所成角，利用余弦定理求出此角即可．

本题考点：异面直线及其所成的角．

考点点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．