题目

已知函数y=（sinx+cosx）²+2cos²x．
（1）求它的最小正周期；
（2）求它的最大值和最小值．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）∵y=（sinx+cosx）²+2cos²x
=1+2sinxcosx+1+cos2x
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin（2x+

π

4

）+2．
∴它的最小正周期T=π；
（2）∵y=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
∴y_max=2+

2

，y_min=2-

2

．

（1）利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可求得y=

2

sin（2x+

π

4

）+2，从而可求它的最小正周期．
（2）利用正弦函数的性质，由函数解析式y=

2

sin（2x+

π

4

）+2即可求得其最大值和最小值．

本题考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；余弦函数的图象．

考点点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的周期性与最值，属于中档题．