题目

证明：可测集E上的连续函数和单调函数是可测函数?

提问时间：2021-04-01

答案

先清楚可测函数的定义,设函数是f(x),那么f可测就是如果对于任意实数t,E(f>t)（E上使得f>t的那个子集）都是可测的,那么f就是可测函数.就采用这个定义.
①连续函数,设为f.连续函数有一个性质：对于任何λ∈R,集合{x | f (x) >λ x15}都是开集.这是个定理,你看看书上有没有,要是没有也可以证出来,就用数学分析里面的连续函数定义就可以.那么对于任意实数t,E(f>t)是开集,开集当然是可测的,所以f可测.
②单调函数,设为f.不妨设f单调递增,递减完全类似.对于任意实数t,假如t在f的值域内,则必然存在唯一的x0,使得f(x0)=t,所以E(f>t)=区间(x0,+∞)∩E,当然是两个可测集角还是可测集,所以f可测.要是t不属于f值域,那就取f值域里面最接近t但是比t大的那个数t0,f(x0)=t0,所以
E(f>t)=区间(x0,+∞)∩E,还是可测集.如果t大于值域中任何数,E(f>t)=∅,当然也是可测的.综上单调函数f可测.