题目

注：A(n+1)代表数列{An}的n+1项,其他的以此为依据.
1.设数列｛an｝的前n项和Sn,且Sn=2-[1/2^(n-1)],{bn}为等差数列,且a1=b1,a2(b2-b1)=a1.
(1)求数列｛an｝和{bn}的通项公式;
(2)设cn=bn/an,求数列{cn}的前n项和Tn.
2.在数列{An}中,A1=1,A2=2,且A（n+1）=(1+q)*An-qA(n-1)(n≥2,q≠0)
（1）设Bn=A(n+1)-An（n属于正整数集）,证明{Bn}是等比数列;
（2）求数列｛An｝的通项公式;
（3）若A3是A6与A9的等差中项,求q的值,并证明：对任意的n属于正整数集,An是A(n+3)与A(n+6)的等差中项.
3.若｛An｝是等比数列,且Sn=3^n+r ,则r=_____.
4.Sn=1²-2²+3²-4²+...+[（-1）^(n-1)]*n² 化简求和
5.已知数列{An}满足A1=1,A(n-1)/An=[A(n-1)+1]/(1-An)（n属于正整数集,n>1）
（1）求证：数列{1/An}是等差数列；
（2）求数列{AnA(n+2)}的前n项和Sn.
6.若则数列An=1+2+3+4+...+n,则数列｛1/An｝的前n项和Sn=_____
7.已知数列{An}的通项An=(2^n)-1,则{An}的前n项和Sn=______
8.已知等差数列中,前三项之和为6,末三项之和为60,Sn=231,则n=_____
9.等差数列{An}中,A1=25,S9=S17,则此数列前______项和最大.
10.已知{An}是等比数列A2=2,A5=1/4 则A1A2+A2A3+A3A4+...+AnA(n+1)=___

提问时间：2021-04-01

答案

1.设数列｛an｝的前n项和Sn,且Sn=2-[1/2^(n-1)],{bn}为等差数列,且a1=b1,a2(b2-b1)=a1,
(1)求数列｛an｝和{bn}的通项公式;
(2)设cn=bn/an,求数列{cn}的前n项和Tn.
1、（1）a(n)=S(n)-S(n-1)=2-[1/2^(n-1)]-2+[1/2^(n-2)]=1/2^(n-1),且a(1)=1,a(2)=1/2；
b(1)=a(1)=1,(1/2)[b(2)-1]=1,则b(2)=3
由于{b(n)}是等差数列,则b(n)=2n-1
（2）c(n)=(2n-1)×2^(n-1),以下用错位相减法求前n项和：
①T(n)=1×2^0+3×2^1+5×2^2+7×2^3+…+(2n-3) ×2^(n-2)+(2n-1) ×2^(n-1)
②2T(n)=1×2^1+3×2^2+5×2^3+…+(2n-3) ×2^(n-1)+(2n-1) ×2^n
由②-①得：
T(n)=-1×2^0+[(-2) ×2^1+(-2) ×2^2+…+(-2) ×2^(n-1)]+(2n-1)2^n
=(2n-1)×2^n-1-[2^2+2^3+…+2^n]
=(2n-1) ×2^n-1-[1+2^1+2^2+2^3+…+2^n]+1+2^1
=(2n-1) ×2^n+2-2^(n+1)-1
=(n-1) ×2^(n+1)-2^n+1
2.在数列{An}中,A1=1,A2=2,且A（n+1）=(1+q)*An-qA(n-1)(n≥2,q≠0)
（1）设Bn=A(n+1)-An（n属于正整数集）,证明{Bn}是等比数列;
（2）求数列｛An｝的通项公式;
（3）若A3是A6与A9的等差中项,求q的值,并证明：对任意的n属于正整数集,An是A(n+3)与A(n+6)的等差中项.
2、（1）由a(n+1)=(1+q)a(n)-qa(n-1)（n≥2,q≠0）得
a(n+1)-a(n)=q[a(n)-a(n-1)]
则b(n)=qb(n-1),其中b(1)=a(2)-a(1)=1,且n≥2,q≠0
故{b(n)}为等比数列,其通项为b(n)=q^(n-1).
（2）由（1）知：a(n+1)-a(n)=b(n)=q^(n-1),其中a(2)=2,a(1)=1
所以a(n+1)=q^(n-1)+a(n)=q^(n-1)+q^(n-2)+a(n-1)=…=q^(n-1)+…+1+a(1)
=q^(n-1)+…+1+1=(1-q^n)/(1-q)+1（当q≠1）或n+1（当q=1）
所以{a(n)}的通项为a(n)=[1-q^(n-1)]/(1-q)（当q≠1）或a(n)=n（当q=1）
（3）当q=1时,a(n)=n显然满足A3是A6与A9的等差中项的条件,故q=1符合题意；
当q≠1,2a(3)=a(6)+a(9),
则2(1-q^2)/(1-q)=(1-q^5)/(1-q)+(1-q^8)/(1-q)
即-2=-q^3-q^6,解得q^3=-2或1(与q=1情况重复,舍去),
则q=-(三次根号2)；
证明：此时,q^3=-2,对于任意n∈N,
2a(n)=2[1-q^(n-1)]/(1-q)
a(n+3)+a(n+6)=[1-q^(n+2)]/(1-q)+[1-q^(n+5)]/(1-q)
则[a(n+3)+a(n+6)]-2a(n)
= [1-q^(n+2)]/(1-q)+[1-q^(n+5)]/(1-q)-2[1-q^(n-1)]/(1-q)
=[1/(1-q)][1-q^(n+2)+1-q^(n+5)-2+2q^(n-1)]
=[q^(n-1)/(1-q)][-q^3-q^6+2]
=[q^(n-1)/(1-q)][2-4+2]=0
所以[a(n+3)+a(n+6)]=2a(n)
即a(n)是a(n+3)和a(n+6)的等差中项.
3.若｛An｝是等比数列,且Sn=3^n+r ,则r=_____.
4.Sn=1²-2²+3²-4²+...+[（-1）^(n-1)]*n² 化简求和
3、通项公式为a(n)=S(n)-S(n-1)=3^n+r-3^(n-1)-r=2×3^(n-1)
则S(n)=2[1-3^(n)]/(1-3)=3^n-1,所以r=-1
4、S(n)=1^2-2^2+3^2-4^2+…+[(-1)^(n-1)]×n^2
则当n=2k为偶数,则
-S(n)=-S(2k)
=2^2-1^2+4^2-3^2+…+(2k)^2-(2k-1)^2
=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+…+[2k-(2k-1)][2k+(2k-1)]
=3+7+…+(4k-1)（共k项）
=k(3+4k-1)/2=k(2k+1)
=n(n+1)/2
所以,n为偶数时,S(n)=-n(n+1)/2
当n=2k+1为奇数,同理则有
S(n)=S(2k+1)
=1+(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+…+[(2k+1)-(2k)][(2k+1)+(2k)]
=1+5+9+…+(4k+1)（共k+1项）
=(k+1)(1+4k+1)/2
=n(n+1)/2
所以,S(n)=±n(n+1)/2（n为偶数时取负号,n为奇数时取正号）.
5.已知数列{An}满足A1=1,A(n-1)/An=[A(n-1)+1]/(1-An)（n属于正整数集,n>1）
（1）求证：数列{1/An}是等差数列；
（2）求数列{AnA(n+2)}的前n项和Sn.
5、（1）a(n-1)/a(n)=[1+a(n-1)]/[1-a(n)]
两边除以a(n-1),得1/a(n)=[1/a(n-1)+1]/[1-a(n)]
整理得1/a(n)-1=1/a(n-1)+1
则1/a(n)-1/a(n-1)=2,且1/a(1)=1
故{1/a(n)}是以1为首项、2为公差的等差数列.
（2）由（1）可知1/a(n)=1+2(n-1)=2n-1,则a(n)=1/(2n-1)
所以a(n)a(n+2)=1/(2n-1)×1/(2n+3)=(1/4)[1/(2n-1)-1/(2n+3)]
则
S(n)=1/1×1/5+1/3×1/7+1/5×1/9+…+1/(2n-5) ×1/(2n-1)+1/(2n-3) ×1/(2n+1)+1/(2n-1) ×1/2n+3)
=(1/4) ×[1/1-1/5+1/3-1/7+1/5-1/9+…+1/(2n-5)-1/(2n-1)+1/(2n-3) -1/(2n+1)+1/(2n-1)-1/(2n+3)]
=(1/4)[1+1/3-1/(2n+1)-1/(2n+3)]
=1/3-(n+1)/[(2n+1)(2n+3)]
6.若则数列An=1+2+3+4+...+n,则数列｛1/An｝的前n项和Sn=_____
6、a(n)=n(n+1)/2,1/a(n)=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]
所以S(n)=2/(1×2)+2/(2×3)+…+2/[n(n+1)]
=2[1-1/2+1/2-1/3+…+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)
7.已知数列{An}的通项An=(2^n)-1,则{An}的前n项和Sn=______
7、S(n)=2^1-1+2^2-1+…+2^n-1
=2^1+2^2+…+2^n-(1+1+…+1)
=2^(n+1)-2-n
8.已知等差数列中,前三项之和为6,末三项之和为60,Sn=231,则n=_____
8、由题意可知：
第二项为a(2) =2
倒数第二项为a(n-1) =20
S(n)=n[a(2)+a(n-1)]/2=21n=231,所以n=11
9.等差数列{An}中,A1=25,S9=S17,则此数列前______项和最大.
9、S(9)=S(17),说明a(10)、a(11)、…、a(17)这8项的和为0,即前四项和后四项的值互为相反数,故a(1)、a(2)、…、a(13)为正数,从a(14)开始以后的项均为负数,则前13项的和最大.
10.已知{An}是等比数列A2=2,A5=1/4 则A1A2+A2A3+A3A4+...+AnA(n+1)=___
10、a(5)=a(2)×q^3,则q=1/2,a(n)=2^(3-n)
所以a(n)a(n+1)=2^(3-n)×2^(2-n)=2^(5-2n)
相当于首项为2^3=8、公比为2^(-2)=1/4的
所求的和S(n)=8[1-(1/4)^n]/(1-1/4)=32/3×[1-2^(-2n)]