题目
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),求数列{an}通项公式.
提问时间:2021-04-01
答案
∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),①
∴当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1).②
①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2
∴nan=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2
∴nan=nan-Sn+2Sn-1+2.
∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,
∴Sn+2=2(Sn-1+2).
∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0,
∴{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.
∴Sn+2=2n+1,
∴Sn=2n+1-2,
∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,
n=1时,a1=S1=2,也满足上式,
∴an=2n.
∴当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1).②
①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2
∴nan=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2
∴nan=nan-Sn+2Sn-1+2.
∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,
∴Sn+2=2(Sn-1+2).
∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0,
∴{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.
∴Sn+2=2n+1,
∴Sn=2n+1-2,
∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,
n=1时,a1=S1=2,也满足上式,
∴an=2n.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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