题目

在三角形ABC中,a,b,c是三个内角A,B,C对应的三边,已知(b-c)sinB=asinA-csinC (1)求角A的大小
(2)若sinC-cos(B+π/6)=1/2,求角B,C的大小
(3)若a=根号7，b+c=5,且点D为边BC的中点，求线段AD的长。原题

提问时间：2021-04-01

答案

我做过,（1）由正弦定理得：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r (r为三角形ABC外接圆的半径）
所以：sinA=a/2r sinB=b/2r sinC=c/2r
因为(b-c)sinB=asinA-csinC
所以bsinB-csinB=asinA-csinC
b^2+c^2-a^2=bc
由余弦定理得：cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
所以cosA=1/2
所以角A=30度
（2）因为角A=60度,角A+角B+角C=180度
,sinC-cos(B+π/6)=1/2
所以：sinC-cos(150-C)=1/2
sinC-cos150*cosC-sin150*sinC=1/2
cosC=根号3/2
所以角C=60度,
角B=90度.
（3）因为角A=60度 cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
,a=根号7
所以:b^2+c^2-a^2=bc.
因为b+c=5
b=5-c
再把b=5-c代入b^2+c^2-7=bc并解得：
b=2 c=3（不合题意,应舍去）
所以b=3 c=2,
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,
cosB=1/2倍根号7.
因为AD是三角形ABC的中线
所以BD=根号7/2
在三角形ADB中,由余弦定理得：
AD^2=c^2+BD^2-2*BD*c*cos角B
AD^2=4+7/4-2*根号7/2*2*1/2倍根号7
所以AD=根号19/2