题目

已知圆x²+y²-4x-9=0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为______．

提问时间：2021-04-01

答案

解方程组

x2+y2−4x−9＝0 x＝0

，得

x＝0 y＝3

或

x＝0 y＝−3

，
∵圆x²+y²-4x-9=0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，
且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，
∴A（0，-3），B（0，3），
∴a=3，2c=18，∴b²=（

18

2

）²-3²=72，
∴双曲线方程为

y2

9

−

x2

72

=1．
故答案为：为

y2

9

−

x2

72

=1．

由已知条件推导出A（0，-3），B（0，3），从而得到a=3，2c=18，由此能求出双曲线方程．

本题考点：双曲线的标准方程．

考点点评：本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．