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题目
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,-2),直线x=m(m>2)与x轴交于点D.
作业帮
(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线x=m(m>2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由.

提问时间:2021-04-01

答案
作业帮 (1)根据题意,得
a+b+c=0
4a+2b+c=0
c=-2

解得a=-1,b=3,c=-2.
∴y=-x2+3x-2.
(2)当△EDB∽△AOC时,
AO
ED
=
CO
BD
AO
BD
=
CO
ED

∵AO=1,CO=2,BD=m-2,
AO
ED
=
CO
BD
时,得
1
ED
=
2
m-2

ED=
m-2
2

∵点E在第四象限,
E1(m,
2-m
2
)

AO
BD
=
CO
ED
时,得
1
m-2
=
2
ED

∴ED=2m-4,
∵点E在第四象限,
∴E2(m,4-2m).
(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则EF=AB=1,点F的横坐标为m-1,
当点E1的坐标为(m,
2-m
2
)
时,点F1的坐标为(m-1,
2-m
2
),
∵点F1在抛物线的图象上,
2-m
2
=-(m-1)2+3(m-1)-2,
∴2m2-11m+14=0,
∴(2m-7)(m-2)=0,
∴m=
7
2
,m=2(舍去),
F1(
5
2
,-
3
4
)

∴S平行四边形ABEF=1×
3
4
=
3
4

当点E2的坐标为(m,4-2m)时,点F2的坐标为(m-1,4-2m),
∵点F2在抛物线的图象上,
∴4-2m=-(m-1)2+3(m-1)-2,
∴m2-7m+10=0,
∴(m-2)(m-5)=0,
∴m=2(舍去),m=5,
∴F2(4,-6),
∴S平行四边形ABEF=1×6=6.
(1)已知函数的图象经过A,B,C三点,把三点的坐标代入解析式就可以得到一个三元一次方程组,就可以求出函数的解析式;
(2)E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,这两个三角形都是直角三角形,因而应分△AOC∽△EDB和△AOC∽△BDE两种情况讨论.△AOC的三边已知,△BDE中,BD=m-2,而DE=-m.根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出m的值;
(3)四边形ABEF是平行四边形,因而EF=AB,且这两个点的纵坐标相同,E点的纵坐标是m,把x=m代入抛物线的解析式就可以求出点F的横坐标,则EF的长就可以求出.根据EF=AB就可以得到一个关于m的方程,解方程就可以求出m的值.若m的值存在,就可以求出四边形的面积.

二次函数综合题.

本题主要考查了待定系数法求函数的解析式,以及平行四边形的判定方法,是一个存在性问题,在中考中经常出现.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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