题目

已知二次函数f（x）＝ax2－4x+c,若f（x）＜0的解集是（－1.,5）求实数a,c的值,求函数f（x）在x∈［0,3］上的值域.

提问时间：2021-04-01

答案

（1）由不等式f（x）＜0的解集是（-1,5）,可知二次不等式对应的方程的根,利用根与系数关系列式求a和c的值；
（2）求出函数f（x）的解析式后,借助于其图象分析函数在[0,3]上的单调性,运用单调性求函数f（x）在x∈[0,3]上的值域．
由f(x)＜0,得：ax²-4x+c＜0,
不等式ax²-4x+c＜0的解集是（-1,5）,
故方程ax²-4x+c=0的两根是x1=-1,x2=5．
所以根据韦达定理：
4/a=x1+x2=4,
c/a=x1x2=−5
所以a=1,c=-5．
故f(x)=x²-4x-5=(x-2)²-9．
∵x∈[0,3],f(x)在[0,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数．
∴当x=2时,f(x)取得最小值为f(2)=-9．
而当x=0时,f(0)=(0-2)²-9=-5,当x=3时,f(3)=(3-2)²-9=-8
∴f(x)在[0,3]上取得最大值为f(0)=-5．
∴函数f(x)在x∈[0,3]上的值域为[-9,-5]．
(本题考查了一元二次不等式的解集与二次不等式对应的方程的根的关系,考查了利用函数的单调性求函数的值域,是基础题．)