题目

证明：对任给的奇素数p，总存在无穷多个正整数n使得p|（n2ⁿ-1）．

提问时间：2021-04-01

答案

证明：取n=（p-1）k，则由费尔马小定理知2（p-1）k≡1（mod p），所以p|（n2n-1）等价于（p-1）k•2（p-1）k≡1（mod p），等价于（p-1）k≡1（mod p），等价于k≡1（mod p），取k=pr-1（r∈N*），∴n=（p-1）（pr-1...

取n=（p-1）k，则由费尔马小定理知2^（p-1）k≡1（mod p），证明p|（n2ⁿ-1）即证（p-1）k•2^（p-1）k≡1（mod p），从而可得k=pr-1（r∈N^*），即可证明．

本题考点：费马小定理和欧拉定理．

考点点评：本题考查由费尔马小定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用由费尔马小定理是关键．