题目

数列 {a[n]} 中,a1=4且对任意n属于N*,均有,a[n+1]=2(a[n]-n+1) 数列{a[n]} 的通项为a[n]=2^n+2n
求证 ( 1/a1-1)+(1/a2-2)+(1/a3-3).+(1/an-n)<3/4,n=1,2,3.

提问时间：2021-04-01

答案

证明：
由题意可知：原式即证：1/3+1/6+1/11+…+1/(2^n+n)<3/4 n=1,2,3…
n=1时,1/3<3/4,成立；
同理n=2,3时,原式都成立；
n>=4时,因为显然有1/(2^n+n)<1/2^n
1/3+1/6+1/11+1/20+1/37+…+1/(2^n+n)<1/3+1/6+1/11+1/16+1/32+…+1/2^n
1/3+1/6+1/11+1/16+1/32+…+1/2^n
=(1/3+1/6+1/11)+1/8-1/2^n<3/4
所以n属于N*,n>=4时,原式都成立
得证