题目

已知集合M={f(x)/f(x)^2-f(y)^2=f(x+y)f(x-y)}
若f3(x)∈M 则y=f3(x)的图像关于原点对称
若f4(x)∈M 则对任意的不等实数x1 x2 总有[f4(x1)-f4(x2)]/[x1-x2]

提问时间：2021-04-01

答案

（1）若f3(x)∈M,那么就成立等式f3(0)^2-f3(0)^2=f3(0+0)f3(0-0)=f3(0)^2,等式左端等于0,所以f3(0)＝0.同时也成立等式f3(0)^2-f3(x)^2=f3(0+x)f3(0-x)=f3(x)f3(-x),由f3(0)＝0知等式左端等于-f3(x)^2,所以当f3(x)不恒为零时,可推出f3(x)= - f3(-x).而且当f3(x)恒为零时,f3(x)= - f3(-x)也成立.因此y=f3(x)的图像关于原点对称.
（2）要证明对任意的不等实数x1 x2 总有[f4(x1)-f4(x2)]/[x1-x2]