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题目
(16+6x-x^2)^0.5的定积分
希望有人将详细过程写下,我只是个普通高中生,希望不要用图像表示
不好意思,有上下限的话我会求,打漏了“不”字,不好意思。原题有上下限,但是以前看过一下关于微积分的书,想更深一步了解这类函数的不定积分。(多谢一楼提醒)

提问时间:2021-04-01

答案
原积分可化为∫√(25-(x+3)^2)dx
用第二换元法,设x+3=5sint,t∈[-π/2,π/2],则d(x+3)=5costdt
原积分化为
∫√(25-(x+3)^2)dx
=∫√(25-(x+3)^2)d(x+3)
=∫√(25-25(sint)^2)*5costdt
=∫5*|cost|5costdt
=25∫(cost)^2dt t∈[-π/2,π/2]=>cost>0
=25/2∫(cos2t-1)dt
=25/2(sin2t/2-t)+C(C为任意常数)
=25sin2t/4-25t/2+C(C为任意常数)
t=arcsin((x+3)/5)
sint=(x+3)/5,cost=√(1-((x+3)/5)……2)=√(16-6x-x^2)/5
得,原积分=(x+3)√(16-6x-x^2)/2+25arcsin((x+3)/5)/2+C
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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