题目

请教您一道微积分的问题
已知f(x)=3x+3∫(0.x)f(t)dt+4∫(0,1)f(t)dt.1
f(0)=4∫(0,1)f(t)dt .2
1的两边微分得 f ' (x)=3( 1+f(x) )
于是得 ( 1+f(x) )' / 1+f(x) =3 .3
3的两边积分得?.4
从而得f(x)=?.5
请问3是怎么来的?4和5分别是多少呢?
请您不吝赐教.

提问时间：2021-04-01

答案

已知：f(x)=3x+3∫(0.x)f(t)dt+4∫(0,1)f(t)dt [1]
f(0)=4∫(0,1)f(t)dt [2]
对[1]式的两边求导,得：f'(x) = 3[1+f(x)]
于是得：[1+f(x)]'/ [1+f(x)] = 3 [3]
也就是：{d[1+f(x)]/dx}/[1+f(x)] = 3
也就是：d[1+f(x)]/[1+f(x)] = 3dx
两边积分得：ln|1+f(x)| = 3x + c [4]
从而得：f(x) = Ce^(3x) - 1 [5]
这样明白了吗?如不明白,请Hi我.