题目

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1）．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[1，2]时，不等式f（x）≥mx²-x-2恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-04-01

答案

（Ⅰ）由题意得：f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′(−1)＝4f(−1)＝1，即3−2a+b＝4−1+a−b+2＝1，解得：a=b=-1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x3-x2-x+2，∵f（x）≥mx2-x-2，x∈[1，2]，∴m≤x3−x2+4x2，即m≤x+4x2-1，令...

（Ⅰ）由题意得

f′(−1)＝4 f(−1)＝1

，解此方程组可得a，b；
（Ⅱ）分离出参数m后转化为求函数的最值，利用导数可判断函数单调性，由单调性可求最值；

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化为思想．