题目

如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点E、D分别是AC、PC的中点,EP⊥底面ABC． 当K=1/2时,求直线PA与平面PBC所成角的余弦

提问时间：2021-04-01

答案

令BC的中点为F.利用赋值法,设AB＝1,则：BC＝1、PA＝2.
∵PE⊥平面ABC,∴PE⊥AC,又E∈AC且AE＝CE,∴PC＝PA＝2.
∵AB＝BC＝1、AB⊥BC,∴AC＝√2,∴AE＝√2/2,
∴PE＝√（PA^2－AE^2）＝√（4－1/2）＝√7/√2.
∴S(△ABC)＝（1/2）AB×BC＝1/2,
∴V(P－ABC)＝（1/3）S(△ABC)×PE＝（1/3）×（1/2）×（√7/√2）＝√14/12.
∵AB＝BC、AB⊥BC、E∈AC且AE＝CE,∴BE＝CE.
∵PE⊥平面ABC,∴BE、CE分别是PB、PC在平面ABC上的射影,又BE＝CE,∴PB＝PC＝2.
∵PB＝PC＝2、BC＝1、F∈BC且BF＝CF,∴BF＝1/2、PF⊥BF,
∴PF＝√（PB^2－BF^2）＝√（4－1/4）＝√15/2.
∴S(△PBC)＝（1/2）BC×PF＝（1/2）×1×（√15/2）＝√15/4.
过A作AG⊥平面PBC交平面PBC于G.显然有：
V(A－PBC)＝（1/3）S(△PBC)×AG＝V(P－ABC)＝√14/12,
∴（1/3）×（√15/4）AG＝√14/12,∴AG＝√14/√15,
∴sin∠APG＝AG/PA＝（√14/√15）/2＝√7/√30,
∴cos∠APG＝√［1－（sin∠APG）^2］＝√（1－7/30）＝√23/√30＝√69/30.
∴直线PA与平面PBC所成角的余弦值为√69/30.