题目

【高中数学函数部分】一元二次方程的实根分布
已知函数f(x)=(m-2)^2-4mx+2m-6的图像与X轴的负半轴有交点,求实数m的取值范围.
【注】：(m-2)^2是（m-2）的平方的意思.
实在对不起二位大师了……
我看来看去觉得不对劲，原来是解析式写错了：
f(x)=(m-2)x^2-4mx+2m-6
是(m-2)倍的x平方
实在抱歉

提问时间：2021-04-01

答案

考虑两种情况：
（1）f(x)=0只有一根.此时
一.若m-2=0,即f(x)为一次函数,此时f(x)=-8x-2
有一负根x=-1/4.
二.若m-2不为零,方程f(x)=0判别式（4m）^2-4(m-2)(2m-6)=0
得m1=1,m2=-6.
m=1时的根为-2,m=-6时的一根为4/3
则此时m=1合题意.
（2）f(x)=0有两根,此时须有判别式（4m）^2-4(m-2)(2m-6)>0
结合（1）得到一个初步范围m<-6或m>1.
设方程两根分别为x1和x2,有：
x1+x2=4m/(m-2), x1x2=(2m-6)/(m-2)
一.若有一根为负,x1x2<0得 2 二.若有两负根,x1x2>0且x1+x2<0得1 三.若有一根为零x1x2=0,得m=3,易知另一根为12（舍）
综上,m的范围为：1<=m<3.