题目

一个棱锥的高被平行于底面的平面截成上下两部分的比为1:2,则这两部分的体积比是多少?

提问时间：2021-04-01

答案

设底面为S,中间的截面为S1,S与S1是相似的多边形.且对应边平行..考察棱锥侧面的任意一个三角形,(它被平行截面所截.)知:S 与S1的对应边之比为:3:1.
由定理,相似形面积之比等于其相似比的平方.即S与S1的面积之比为:9:1.
现在仍以S,S1同时表示其面积.则有S = 9S1.
设:原棱锥的高为h,则上部棱锥高为:h/3.
原棱锥的体积为:(1/3)Sh,上部棱锥的体积为:(1/3)[S/9)h/3= (1/81)Sh.
上下两部分的体积比为:[1/81]/[1/3 -1/81]= 1/26.