题目

导数的应用,面积、体积的最值问题.
等腰三角形的周长为2p,它围绕底边旋转一周成一个几何体,问三角形的各边长分别是多少时,几何体的体积最大?

提问时间：2021-04-01

答案

设腰长为x,底边为2y,则2x+2y=2p,所以x+y=p
题中所求几何体就是两个相等的圆锥的体积之和,
该圆锥高为y,底面面积S=派（x^2-y^2)
所以所求几何体的体积V=[2派（x^2-y^2)*y]/3
将x=p-y代入得V=[2派（（p-y)^2-y^2)*y]/3
=2派（-2py^2+p^2y)/3
显然当y=p/4时V有最大值,即三角形的腰为3p/4、底边为p/2时,几何体的体积最大.