题目

已知函数g（x）=x^2+2x,数列{an}满足a1+1/2,2a（n+1）=g（an）.数列{bn}的前n项和为Tn,数列{bn}的前n项积为Rn,bn=1/（2+an）.
（1）求证：2^（n+1）*Rn+Tn=2
（2）求证：5^n-4^n

提问时间：2021-04-01

答案

应该是a1＝1/2吧
(1) 2a（n+1）=g（an）=an^2+2an=an(an+2) ,an+2=2a（n+1）/an
bn=1/（2+an）=(1/2)*an/a(n+1)
Rn=b1*b2*...*bn=[(1/2)*a1/a2]*[(1/2)*a2/a3]*...*[(1/2)*an/a(n+1)]=[(1/2)^n]*[a1/a(n+1)]
2^（n+1）*Rn=2*[a1/a(n+1)]=1/a(n+1)
利用归纳法证明Tn＝2－2^（n+1）*Rn＝2－1/a(n+1)
a1=1/2时 ,a2=5/8 b1=2/5,T1=b1=2/5=2－1/a2 等式成立
a2=5/8时 ,a3=105/128 ,b2=8/21,T2=b1+b2=82/105=2-1/a3 ,等式成立
假如Tn=2-1/a(n+1)成立,则
T(n+1)=Tn+b(n+1)=2-1/a(n+1)+1/[2+a(n+1)]={2[a(n+1)]^+4a(n+1)-2}/{[a(n+1)]^2+2a(n+1)}
=[4a(n+2)-2]/2a(n+2)
=2-1/a(n+2)
所以Tn=2-1/a(n+1)恒成立
2^（n+1）*Rn+Tn=1/a(n+1)+2-1/a(n+1)=2 成立
（2）5^n*Tn/2=5^n*[2-1/a(n+1)]/2=5^n*{1-1/2[a(n+1)]}=5^n*[1-1/an(an+2) ]
=5^n*-5^n*[1/an(an+2) ]
利用归纳法证明1/[2a(n+1)]=