题目

在五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90 ,∠BAC=DAE,P是CD的中点,
（1）求证：PB=PE（2） 若AB=BC，AE=DE，猜想PB、PE的数量关系、位置关系如何？请证明

提问时间：2021-04-01

答案

(图麻烦您自己画,我就不画了,参照图看解题过程）
证明1：取AD中点M,AC中点N,连接EM、PM、PE、BN、PN、BP
由三角形中位线,可知PN‖AD,PN=1/2AD
∵∠AED=90°,且M为AD中点
∴EM=1/2AD=PN
同理,可证：PM=BN
又∵∠ABC=∠AED=90°,∠BAC=DAE
∴△ADE∽△ACB
∴∠ADE=∠ACB
∵∠AED=∠ABC=90°,M、N为AD、AC中点
∴∠ADE=∠DEM,∠ACB=∠CBN
∴∠DME=180°-∠ADE-∠DEM=180°-2∠ADE
∠BNC=180°-∠ACB-∠CBN=180°-2∠ACB
∴∠DME=∠BNC
又由三角形中位线,可知：PM‖AC,PN‖AD
∴∠DMP=∠CAD=∠CNP
∴∠DME+∠DMP=∠BNC+∠CNP,即∠PME=∠PNB
且∵EM=PN,PM=BN
∴△EMP≌△PNB
∴PE=PB
解2：PE=PB,PE⊥PB
PE=PB在（1）中已证,下面证明PE⊥PB,添的线同（1）
∵AB=BC,∠ABC=90°
∴△ABC为等腰直角三角形,且N为AC中点
∴BN⊥AC ∴∠BNC=90°
设BP与AC的交点为Q
则∠PBN+∠BQN=180°-∠BNC=90°
由（1）中证：△EMP≌△PNB
∴∠EPM=∠PBN
又由三角形中位线,知：PM‖AC,PN‖AD
∴AMPN为平行四边形
∴∠MPN=∠MAN
∵PM‖AC ∴∠CNP=∠MAN
∴∠CNP=∠MPN
∴∠BPE=∠EPM+∠MPN+∠BPN
=∠PBN+（∠MPN+∠BPN）
=∠PBN+∠BQN=90°
∴PE⊥PB