题目

请证明“斯坦纳--来默斯定理”.不用反证法,
有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形（斯坦纳--来默斯定理）

提问时间：2021-04-01

答案

设三角形ABC,∠B=2a,∠C=2b,角平分线BD=CE
分别以BD,CE为底边,以a+b为底角向上做两个等腰三角形BDF,CEG
连接AF,AG
则ADBF四点共圆,AGCE四点也共圆
因∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+b+a=180度
所以FAG共线
∠4+∠BCG=∠4+(b+b+a)=∠5+(b+b)+a=180度
所以BCGF四点共圆
因△FBD≌△GEC
所以BF=CG,结合共圆条件得FG//BC,等腰梯形,∠FBC=∠GCB
b+a+a=b+b+a
整理得∠B=∠C 设:△ABC,BD,CE分别为∠B,∠C的角平分线,∠B,∠C的一半分别为α、β
由正弦定理可得:
sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,
∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0
==>sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0
==>sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0
==>sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0
∴sin[(α-β)/2]＝0
∴α＝β,∴∠B=∠C; ∴AB=AC