题目

如图，已知AB=AC，∠A=36°，线段AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面3个结论：

①△BCD是等腰三角形；②△ABC∽△BDC；③点D是线段AC的黄金分割点．
请你从以上结论中只选一个______加以证明．（友情提醒：证明①得8分，证明②得10分，证明③得12分）．

提问时间：2021-04-01

答案

证明：如图所示，
∵MN是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠BDC=2∠A=72°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴AB：BD=BC：DC，
又∵BD=AD=BC，AB=AC，
∴AD²=DC•AC．