题目

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）是抛物线x²=2py（p＞0﹚上的三点，F是其焦点，且x₁²、x₂²、x₃²成等差数列．求证：|AF|、|BF|、|CF|也成等差数列．

提问时间：2021-04-01

答案

证明：∵x12，x22，x32成等差数列，
∴2x22＝x12+x32，
即4py₂=2py₁+2py₃，
∴2y₂=y₁+y₃，则2(y2+

p

2

)＝y1+

p

2

+y3+

p

2

，
由抛物线的定义知：|AF|＝y1+

p

2

，|BF|＝y2+

p

2

，|CF|＝y3+

p

2

，
∴2|BF|=|AF|+|CF|．
即：|AF|、|BF|、|CF|成等差数列．

由x12，x22，x32成等差数列得到2x22＝x12+x32，转化为点的纵坐标的关系后结合抛物线的定义转化为焦半径：|AF|、|BF|、|CF|的关系，即2|BF|=|AF|+|CF|．从而证明：|AF|、|BF|、|CF|也等差数列．

本题考点：抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题是直线与圆锥曲线综合题，考查抛物线的定义及焦半径公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．