题目

两个等量异号点电荷形成的电场线方程是什么?

提问时间：2021-04-01

答案

楼主的这个问题比较难,一般我们都问它们的电场或者电势等于多少,而楼主却问电场线的方程.电场强度矢量给出了电场线的一个切线方向,楼主的问题从数学上说,就是已知曲线每一点的切线方向场,求曲线方程的问题.看了下楼主的资料,楼主是大学生吗?如果没有高等数学知识这个问题肯定是求不了的.
先说下最直接的思路.楼主问的是一个二维问题,就在xoy平面上就可以了.我们求电场线曲线不好求,但是我们知道,和电场线处处垂直的线叫等势线（就是电势相等的线）,这个好求,只要把电势φ求出来,让φ(x,y)=C（常数）就是所有等势线构成的集合.然后问题就归结到如何求φ=C曲线的垂线.我们知道,φ=C是一族曲线（因为C是任意常数,每个C都是一条曲线）,要去求另一族曲线ψ=C处处和这个等势线垂直,这在数学上有个专有名词,叫“正交曲线族问题”.大致做法是由φ(x,y)=C利用隐函数求导法,求出dy/dx导数,它等于f(x,y),然后利用垂直线斜率互为负倒数的关系,对于ψ(x,y)=C应该满足dy/dx=-1/f,那么这就是个一阶微分方程,解出这个微分方程的通积分就是ψ(x,y)=C.
上面数学的抽象问题说完了,如果具体到电场,设正电荷Q在(a,0),负电荷-Q在(-a,0)那么整体电势为二者叠加φ=kQ/√[(x-a)²+y²]-kQ/√[(x+a)²+y²]（√表示开根号,/是分数线,比如a/b代表b分之a）
由φ=C利用隐函数求导法两边对x求导得到y'=……（式子很复杂）然后把它取负倒数,解微分方程,可以得到电场线的方程.我不具体算了,如果楼主非要算,我明天抽时间帮楼主算一下,这不一定是能用初等式子表示的（不过也没准可以）……
最后说一句,这个问题在物理上意义不大,最多算个数学游戏.物理上真正关心的是有物理意义的量,比如具体每一点的电场强度,电势等,具体电场线是什么形状y=y(x)这与物理关系不大.